[HSGS] Số Học trong đề thi thử (Toán điều kiện) năm 2026 (Đợt 2)
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN
Số Học trong đề thi khảo sát năng lực Lớp 9
Năm học 2025 – 2026
Môn: TOÁN (Toán chung – Đợt 2, 07/3/2026)
Tìm tất cả số nguyên thỏa mãn \(x^3 - y^3 = 2xy + 1\).
Cách 1. Biến đổi hằng đẳng thức để đơn giản hóa bài toán
\[
x^3 - y^3 = (x - y) (x^2 + xy + y^2 ) = (x-y)\cdot [(x-y)^2 + 3 xy ]
\]
Đặt \((x - y) = z\) và \(xy = t\), ta được phương trình
\[
z \cdot (z^2 + 3t) = 2t + 1
\]
Ta đưa \(z\) và \(t\) về từng vế, hay
\[
\frac{z^3 - 1 }{2-3z} = t \in \mathbb{Z}
\]
Ta cố gắng giản ước
\[
\begin{aligned}
& 3z-2 \mid z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + z + 1) \mid (3z - 3)(3z^2 + 3z + 3) \\
\Longrightarrow\;& 3z - 2 \mid 3z^2 +5 \\
\Longrightarrow\;& 3z-2 \mid 3z^2 +5 - z(3z-2) \\
\Longrightarrow\;& 3z - 2 \mid 2z+5 \\
\Longrightarrow\;& 3z - 2 \mid 3(2z+5) - 2(3z+2) = 11 \\
\Longrightarrow\;& 3z - 2 \in \{\pm 1, \pm 11\}
\end{aligned}
\]
Suy ra \(3z - 2 \in \{\pm 1, \pm 11\}\) hay \(z \in \{1, -3\}\) suy ra \(t \in \{0\}\).
Ta thu được hệ phương trình
\[
xy = 0, \quad x-y=1
\]
\[
x = 1, y = 0 \quad \text{hoặc} \quad x=0, y=-1
\]
Cách 2. Dùng đại số để đánh giá, theo đó ta có
\[
2xy + 1 \;\vdots \; x^2 + xy + y^2
\]
Rõ ràng \(2xy + 1 \neq 0\) nên
\[
2xy + 1 \ge x^2 + xy + y^2 \ge xy + 2|xy|
\]
Như vậy
\[
xy + 1 \ge 2|xy| \ge 0
\]
\[
\Longrightarrow xy \ge -1
\]
Nếu \(xy = -1\) thì ta có \(0 > 1\), vô lý. Suy ra \(xy \ge 0\) nên
\[
1 \ge xy
\]
Vậy
\[
xy \in \{1,0\}
\]
Cách 3. Đặt \(x = y+a\), ta có
\[
\begin{aligned}
& (y+a)^3 - y^3 = 2(y+a)y + 1 \\
\Longrightarrow\;& a^3 + 3ya^2 + 3y^2a = 2y^2 + 2ay + 1 \\
\Longrightarrow\;& (3a - 2)y^2 + (3a^2 - 2a)y + (a^3 -1) = 0
\end{aligned}
\]
Khi đó
\[
\Delta = (3a^2 - 2a)^2 - 4(a^3 - 1)(3a - 2)
\]
\(
= -3a^4 - 4a^3 + 4a^2 + 12a - 8 \ge 0
\)
suy ra
\(
(a - 1)(-3a^3 - 7a^2 -3a + 9) + 1 \ge 0
\)
- Nếu \(a = 1\) thì thỏa mãn.
- Ta có \[ -3a^3 - 7a^2 -3a + 9 = (a-1)(-3a^2 -10a -13) - 4 \]
- Nếu \(a < 1\) thì chứng minh \[ -3a^3 - 7a^2 -3a + 9 > 0 \] Ta có \[ \Delta_{(-3a^2 -10a -13)} < 0 \] suy ra \[ -3a^2 -10a -13 < 0 \] và \[ -3a^2 -10a -13 \le 1 \] Từ đó \[ (a-1)(-3a^2 -10a -13) > 4 \]
- Nếu \(a > 1\) thì xử lý tương tự.
Nhìn chung cách này nếu có máy tính thì sẽ nhẹ nhàng hơn, nếu không chúng khá phức tạp.
Comments
Post a Comment