Về Một Bài Phương Trình Hàm

Về Một Bài Phương Trình Hàm

Long Do

20.1.2026

Bài toán

Tìm tất cả hàm số \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) thỏa mãn

$$ f(x^2+y+f(y)) = xf(x) + f(2y), \quad \forall x,y\in\mathbb{R} \tag{1} $$

Lời giải

Giả sử hàm số \(f\) thỏa mãn đề bài. Đặt \(\mathcal{P}(u,v)\) là phép thế \(x=u\), \(y=v\) trong (1).

Trước hết xét \(f\) là hàm hằng. Khi đó \(xf(x)\equiv0\Rightarrow f(x)\equiv0\).

Xét \(f\) khác hằng. Nếu \(f(x)\equiv x\) thì thay vào thấy thỏa mãn. Do đó chỉ cần xét \(f(x)\not\equiv x\). Ta chứng minh \(f(0)=0\).

Giả sử \(f(0)\neq0\). Thế \(x\) bởi \(-x\) trong (1) ta được

$$ f(x^2+y+f(y)) = -xf(-x)+f(2y),\quad \forall x,y\in\mathbb{R} \tag{2} $$

Từ (1) và (2) suy ra

$$ xf(x)=-xf(-x),\quad \forall x\in\mathbb{R} $$ $$ \Rightarrow f(x)=-f(-x),\quad \forall x\neq0 \tag{3} $$

Ta chứng minh tồn tại \(t\) sao cho \(t-f(t)>0\).

Vì \(f(x)\not\equiv x\) nên tồn tại \(x_1\) sao cho \(f(x_1)\ne x_1\).

Nếu \(x_1>f(x_1)\) thì chọn \(t=x_1\). Nếu \(x_1 $$ -x_1>-f(x_1)=f(-x_1) $$

chọn \(t=-x_1\).

Xét phép thế \(\mathcal{P}(\sqrt{t-f(t)},t)\)

$$ f(2t)=\sqrt{t-f(t)}\,f(\sqrt{t-f(t)})+f(2t) $$ $$ \Rightarrow \sqrt{t-f(t)}\,f(\sqrt{t-f(t)})=0 $$ $$ \Rightarrow f(\sqrt{t-f(t)})=0 $$

Đặt \(u=t-f(t)\Rightarrow f(u)=0\).

Xét tiếp \(\mathcal{P}(0,u)\)

$$ f(u+f(u))=f(u)=0=f(2u) $$ $$ \Rightarrow f(u)=f(-u)=f(-2u)=f(2u)=0 \tag{4} $$

Thế lần lượt \(\mathcal{P}(x,u)\) và \(\mathcal{P}(x,-u)\)

$$ f(x^2+u)=xf(x)=f(x^2-u) $$ $$ \Rightarrow f(x+u)=f(x-u),\quad x\ge0 $$

• Nếu \(u>0\) thì \(f(0)=f(2u)=0\)
• Nếu \(u<0 f="" li="" th="" u="">

Mâu thuẫn với giả sử nên \(f(0)=0\). Từ (3) suy ra \(f\) là hàm lẻ.

Xét \(\mathcal{P}(x,0)\) và \(\mathcal{P}(0,x)\)

$$ f(x^2)=xf(x),\quad \forall x\in\mathbb{R} \tag{5} $$ $$ f(y+f(y))=f(2y),\quad \forall y\in\mathbb{R} \tag{6} $$

Từ (5) viết lại (1)

$$ f(x^2+y+f(y))=f(x^2)+f(2y) $$ $$ \Rightarrow f(x+y+f(y))=f(x)+f(2y),\quad x\ge0 \tag{7} $$

Tương tự suy ra

$$ f(x+y+f(y))=f(x)+f(2y),\quad x\le0 \tag{8} $$

Kết hợp (7),(8)

$$ f(x+y+f(y))=f(x)+f(2y),\quad \forall x,y \tag{9} $$

Thế \(x=y-f(y)\)

$$ f(y-f(y))=0 \tag{10} $$

Thế tiếp vào (9)

$$ f(x+y-f(y))=f(x) \tag{11} $$

Cho \(x=-y\)

$$ f(f(y))=f(y) $$

Kết hợp với (5)

$$ f(f^2(x))=f(x)\,f(f(x))=f(x)^2 \tag{12} $$

Giả sử tồn tại \(a,b\) sao cho \(f(a)=f(b)\ne0\)

$$ a f(a)=b f(b)\Rightarrow a=b $$

Vì \(f\not\equiv0\) nên tồn tại \(v\) sao cho \(f(v)\ne0\). Thế \(x=v\) vào (11)

$$ v+y-f(y)=v $$ $$ \Rightarrow f(y)=y $$

Kết luận

$$ f(x)\equiv0,\qquad f(x)\equiv x $$